[2016년 백신고]

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[2학년 1학기 중간 미적분1]

[eqn: LEFT { {2 ^{n} +5 ^{n+1}} over {3 ^{n} +5 ^{n}} RIGHT }]의 극한값은?

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: sqrt {9n ^{2} -4n+2}]의 정수 부분을 [eqn: a_n]이라고 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {( sqrt {9n ^{2} -4n+2} -a _{n} )}]의 값은?

②

① [eqn: 2 over 9]	② [eqn: 1 over 3]	③ [eqn: 2 over 3]
④ [eqn: 5 over 9]	⑤ [eqn: 4 over 3]

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{n} - {3n(n+1)} over {4n ^{2} -1} RIGHT ) =5]일 때,
[eqn: lim _{n -> INF } { {bn ^{2} a _{n} +3} over {cn ^{2} -9}} =3]이다. 이때 [eqn: {b} over {c}]의 값은?

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

공비가 같은 두 등비수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }], [eqn: LEFT { b_n RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{1} -b _{1} =1]이고,
[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} =10], [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n} =8]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} b _{n}]의 값은?

①

① [eqn: 80 over 3]	② [eqn: 40]	③ [eqn: 160 over 3]
④ [eqn: 200 over 3]	⑤ [eqn: 80]

다음 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: rm ABCD]가 있다. 선분 [eqn: rm AB]와 선분 [eqn: rm AD]를 각각 [eqn: m:n]으로 내분하는 점을 지나고, 선분 [eqn: rm AB]와 선분 [eqn: rm AD]에 각각 평행한 두 직선을 그어 만들어진 [eqn: 4]개의 사각형 중 아래쪽에 생기는 정사각형 [eqn: S_1]의 한 변의 길이를 [eqn: l _{1}], 위쪽에 생기는 정사각형을 [eqn: rm A _{1} B _{1} CD _{1}]라고 하자. 이 때 생긴 위쪽의 정사각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} CD _{1}]으로 위의 과정을 반복하였을 때, 아래쪽에 생기는 정사각형 [eqn: S_2]의 한 변의 길이를 [eqn: l_2], 위쪽에 생기는 정사각형을 [eqn: rm A_2 B_2 C D_2]라고 하자. 이와 같은 과정을 반복하여 정사각형을 한없이 그려갈 때, 정사각형 [eqn: S_k]의 한 변의 길이 [eqn: l_k]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{INF } l _{2k-1} = {5} over {8}]이다. 이때, [eqn: {2n} over {m}]의 값은? (단,  [eqn: m], [eqn: n]은 서로소인 자연수이다.)

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

다음 중 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

③

ㄱ. 급수 [eqn: sum _{n=1 } ^{ inf } { log LEFT ( 1 + 1 over n RIGHT ) }]은 수렴한다.

ㄴ. 등비급수 [eqn: sum _{n=1 } ^{ inf } { a_n }]이 수렴하면

[eqn: sum _{n=1 } ^{ inf } { ( a_n +1 )}]도 수렴한다.

ㄷ. [eqn: sum _{n=1 } ^{ inf } { a_n b_n } =2], [eqn: lim _{ n -> inf } { b_n } =2]이면 [eqn: lim _{ n -> inf } { a_n } = 0]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

극한값이 존재하는 것은? (단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

④

① [eqn: lim _{x -> 2} {LEFT ( - {1} over {LEFT | x-2 RIGHT |} RIGHT )}]	② [eqn: lim _{x -> 1 } { { LEFT |x^2 -1 RIGHT | } over x-1 }]

③ [eqn: lim _{x -> 3 } { LEFT [ x RIGHT ] }]	④ [eqn: lim _{x -> 1 } { { (x-1) LEFT |x -1 RIGHT | } over {x^2 -1 } }]

⑤ [eqn: lim _{x -> 0 } { x over {LEFT | x RIGHT |} }]

함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 [eqn: lim _{x -> INF } {LEFT { 3f(x)+2g(x) RIGHT } =1}], [eqn: lim _{x-> INF } {g(x)} = INF]을 만족할 때, [eqn: lim _{x -> INF } {{4f(x)+3g(x)} over {2f(x)-g(x)}}]의 값은?

③

① [eqn: -3]	② [eqn: - 1 over 3]	③ [eqn: - 1 over 7]
④ [eqn: 1 over 3]	⑤ [eqn: 2]

[eqn: y]축 위의 한 점 [eqn: rm A it (0,```t)(t>1)]에서 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]에 접선을 그었을 때 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rm P], 점 [eqn: rm P]에서 [eqn: x]축에 평행한 선을 그어 원과 만나는 점을 [eqn: rm Q]라 하자. 삼각형 [eqn: rm OPQ]의 넓이를 [eqn: S(t)]라 할 때, [eqn: lim _{t -> sqrt {2}} {{t ^{2} S(t)-1} over {t- sqrt {2}}}]의 값은?

②

① [eqn: 1]	② [eqn: root 2]	③ [eqn: 1 + root 2]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 2 root 2]

두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]의 그래프이다. 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

②

ㄱ. 함수 [eqn: {f(x)} over {g(x)}]는 [eqn: x=2]에서 연속이다.

ㄴ. [eqn: lim _{x -> 1} {f(g(x))} =1]

ㄷ. 함수 [eqn: f(x)-g(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄴ, ㄷ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

연속함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(1)=-1], [eqn: f(2)=-k ^{2} +4k+4],
[eqn: f(3)=-2]이다. 방정식 [eqn: f(x)-2x+1=0]가 구간 [eqn: (1,```2)], [eqn: (2,```3)]에서 각각 실근을 갖도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수를 구하면?

③

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(1) = 3], [eqn: f` prime (1)=5]일 때,
[eqn: lim _{x -> 1} {{xf(1)-f(x)} over {sqrt {x} -1}}]의 값은?

①

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

원점을 지나는 함수 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=x]의 그래프이다.
[eqn: 0<a<b]일 때, 옳지 않은 것은?

⑤

① [eqn: f` prime (a)<f` prime (b)]	② [eqn: f(b)-f(a)>b-a]

③ [eqn: {f(a)} over {a} < {f(b)} over {b}]	④ [eqn: f LEFT ( {a+b} over {2} RIGHT ) < {f(a)+f(b)} over {2}]

⑤ [eqn: f` prime ( sqrt {ab} )>f `prime LEFT ( {a+b} over {2} RIGHT )]

원점을 지나는 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프이다. 구간 [eqn: (-1,```5)]에서 함수 [eqn: f(x)]에 대한 설명 중 옳지 않은 것은?

①

① [eqn: lim _{x -> 0} {{f(x)} over {x}} >0]

② [eqn: f` prime (x)=0]인 [eqn: x]의 값은 [eqn: 1]개다.

③ 함수 [eqn: f(x)]가 불연속인 [eqn: x]의 값은 [eqn: 2]개이다.
④ 함수 [eqn: f(x)]가 미분가능하지 않은 [eqn: x]의 값은 [eqn: 3]개다.

⑤ 함수 [eqn: f(x)]의 극한값이 존재하지 않은 [eqn: x]의 값은 [eqn: 1]개이다.

함수 [eqn: f(x)=(x ^{2} +x)(ax ^{4} +3x-2)]에 대하여 [eqn: f` prime (1)=-2]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하면?

②

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

점 [eqn: (1,```1)]을 지나고 곡선 [eqn: y=x ^{3} +x+4]에 접하는 직선의 개수를 [eqn: p], 접점의 [eqn: x]좌표의 합을 [eqn: q]라고 할 때, [eqn: p +2q]의 값은?

④

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]
④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

함수 [eqn: f(x)=x ^{2} -3x-4]와 구간 [eqn: [3,```7]]에 속하는 임의의 두 실수 [eqn: a], [eqn: b(a<b)]에 대하여 [eqn: f(b)-f(a)-k(b-a)=0]을 만족시키는 실수 [eqn: k]의 범위는 [eqn: p<k<q]이다. [eqn: p +q]의 값은?

⑤

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]
④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

서술형

스웨덴의 수학자 코흐([eqn: rm Koch,```H.```V.])는 다음 단계에 따라 ‘코흐 눈송이’라는 도형을 만들었다.

‘코흐 눈송이’의 [[eqn: n]단계]에서 얻어진 도형을 [eqn: A_n]이라	할 때, [eqn: A_n]의 둘레의 길이를 [eqn: a_n], [eqn: A_n]의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[[eqn: 1]단계] 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정삼각형의 각 변을 삼등분하여 가운데 부분을 한 변으로 하는 정삼각형을 바깥쪽을 향하도록 그린다. 이 때, 삼등분한 변의 가운데 부분을 지운다.

[[eqn: 2]단계] [[eqn: 1]단계]에서 얻어진 도형의 각 변을 삼등분하여 가운데 부분을 한 변으로 하는 정삼각형을 바깥쪽을 향하도록 그린다. 이 때, 삼등분한 변의 한 가운데 부분을 지운다.

[[eqn: 3]단계] 위의 과정을 반복한다.

(1) [eqn: a _{n} =4 cdot LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{n-1}], 발산,

(2) [eqn: { 2 sqrt { 3} } over {5 }]로 수렴

(1) 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 일반항 [eqn: a_n]을 구하고,

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 수렴, 발산 여부를 판별하시오.

(2) 수열 [eqn: LEFT { S_n RIGHT }]의 수렴, 발산 여부를 판별하시오

함수 [eqn: f(x)= lim _{n -> INF } {{2x ^{2n-1} +ax+b} over {x ^{2n} +1}}]가 모든 실수 [eqn: x]에서 연속일 때, [eqn: f LEFT ( 1 over 2 RIGHT )]의 값을 구하시오.

[eqn: 1]

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 연속의 정의와 미분계수의 정의를 이용하여 [eqn: x =1]에서의 연속성과 미분가능성을 보이시오.

연속/미분불가능

[eqn: f(x)= {cases{x ^{2} -x+1&```(x GEQ 1)#2x-1&```(x<1)}}]

[2016년 백신고]

[2학년 1학기 중간 미적분1]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com